Question

如图，椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点为F₁，F₂，上顶点为A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF₁A∶S△PF₁F₂＝2∶1，则直线PF₁的斜率为________．

Answer

【解析】因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，即a＝2c，则A(0，b)，F2(c,0)，

设直线PF1的斜率为k(k>0)，则直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，因为S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，即S△PF1A＝2S△PF1F2，即·|PF1|·＝2×·|PF1|·，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或5kc，又a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2，所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝，所以k＝.