Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将△AOD折起，使DB＝.

(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；

(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明:∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.

取AO中点H，连接DH，BH，则OH＝DH＝，

在Rt△BOH中，BH2＝BO2＋OH2＝，

在△BHD中，DH2＋BH2＝2＋＝3，又DB2＝3，

∴DH2＋BH2＝DB2，∴DH⊥BH.

又DH⊥OA，OA∩BH＝H，∴DH⊥面ABCO，而DH⊂平面AOD，∴平面AOD⊥平面ABCO.

(2)解 分别以OA，OB所在直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，，0)，A(，0,0)，D，C.

∴＝(－，，0)，＝，＝.

设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得

即x＝y，x＝z，令x＝1，则y＝z＝1，取n＝(1,1,1)．

设α为直线BC与平面ABD所成的角，则sin α＝＝.

即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.