Question

已知抛物线C：y²＝2px(p>0)，M点的坐标为(12,8)，N点在抛物线C上，且满足＝，O为坐标原点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为1，并且l₁与抛物线C交于A，B两点，l₂与抛物线C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为G，H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

Answer

（1）y2＝4x（2）(10,0)

【解析】∵＝，点M的坐标为(12,8)，可得点N的坐标为(9,6)，∴62＝18p，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)证明:由条件可知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1：y＝k(x－12)＋8，则l2的方程为y＝(x－12)＋8，由得ky2－4y＋32－48k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－24)＋16，∴x1＋x2＝－＋24，∴点G的坐标为，用代替k，得到点H坐标为(2k2－8k＋12,2k)，∴kGH＝

∴lGH：y－2k＝ [x－(2k2－8k＋12)]．

令y＝0，则x＝10，所以直线GH过定点(10,0)