Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.

(1)求证：面PCD⊥面PBD；

(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；

(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析（2）存在

【解析】(1)证明:PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，

又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB⊂平面PBD.

∴CD⊥平面PBD，又CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBD.

(2)如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设BC＝a，BP＝b，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，

D(2,2,0)，P(0,0，b)．

∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，

∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，

又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，

异面直线PA和CD所成角等于60°，

∴＝，

即＝，解得b＝2，

＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．

设平面PAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则由得

取n1＝(1,0,1)，

∵sin θ＝＝＝，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.

(3)解 假设存在，设＝λ，且E(x，y，z)，则(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，设平面DEB的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则由得

取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，

又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)，

由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合题意)．

∴存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点．