Question

已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：＝1(a>b>0)的上下焦点，其中F₁是抛物线C₂：x²＝4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|＝.

(1)试求椭圆C₁的方程；

(2)与圆x²＋(y＋1)²＝1相切的直线l：y＝k(x＋t)(t≠0)交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）＝1（2）(－2,0)∪(0,2)

【解析】(1)由C2：x2＝4y知F1(0,1)，c＝1，

设M(x0，y0)(x0<0)，

因M在抛物线C2上，

故＝4y0，①

又|MF1|＝，则y0＋1＝②

由①②解得x0＝－，y0＝.

而点M在椭圆上，

∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝＝4.

∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

故椭圆C1的方程为＝1.

(2)因为直线l：y＝k(x＋t)与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，

所以＝1⇒k＝(t≠0，k≠0)．

把y＝k(x＋t)代入＝1并整理，得

(4＋3k2)x2＋6k2tx＋3k2t2－12＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋kt＋kx2＋kt＝k(x1＋x2)＋2kt＝，因为，λ＝(x1＋x2，y1＋y2)

所以，P

又因为点P在椭圆上，

所以，＋＝1⇒λ2＝＝ (t≠0)

因为t2>0，所以＋1>1，

所以0<λ2<4，

当k＝0时，因为直线l与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，

则t＝0(舍去)或t＝－1，

当t＝－1时，

y＝－1与椭圆有一个交点，不满足题意，

舍去．所以λ的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．