Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．

(1)证明：PA∥平面BDE；

(2)求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OE；在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.

(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.

则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

B(2,2,0),＝(0,1,1)，＝(2,2,0)．，

设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则由得

取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．

∴cos〈n，〉＝＝.

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为