Question

已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 .

（1）证明： 成等比数列；

(2)若的坐标为，求椭圆的方程；

（3）在(2)的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d，知，d=b•＝，由此能证明d，b，a成等比数列；

（2）由条件知c＝，d＝1，知b2＝a−1，a2＝b2+2，由此能求出椭圆方程；

（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2−4＝0再由韦达定理能够推导出直线的方程．

试题解析：(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中，

， ，即成等比数列． 3分

(2)由条件知，椭圆方程为 6分

（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2−4＝0所以 ①由得

整理后把①式代入解得k=，

所以直线l的方程为.

考点：数列与解析几何的综合.