Question

如图，在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，， 是 的中点。

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，求二面角 的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，由E为SC的中点，知SA∥EF，由此能够证明SA∥平面BDE．
（2）由AB=2，AD=，∠BAD=30°，利用余弦定理得BD=1，由AD2+BD2=AB2，知AD⊥BD．由此能够证明AD⊥SB．
（3）以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．

试题解析：（1）证明：连接AC交BD于F，连结EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，又E为SC的中点，所以SA∥EF，∵SA平面BDE，EF平面BDE，

∴SA∥平面BDE． 4分

（2）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30，由余弦定理得

∵ ∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SB平面SBD，

∴AD⊥SB． 8分

（3）取CD的中点G，连结EG，FG，

则EG⊥平面BCD，且EG＝1，FG∥BC，且FG＝

∵AD⊥BD, AD∥BC，∴FG⊥BD，又∵EG⊥BD ∴BD⊥平面EFG，

∴BD⊥EF，故∠EFG是二面角E—BD—C的平面角

在Rt△EFG中

∴. 12分

考点：（1）空间线面的位置关系；（2）二面角的求法；（3）向量在立体几何中的应用.