Question

已知函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

Answer

（1）－；（2）｛aa＞1或a=-3｝

【解析】

试题分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；

（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得2x+＝a•2x−a有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成方程(a−1)t2−at−1＝0有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．

试题解析：(1)∵函数 f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函数

∴ f(－x)＝ (＋1)－kx＝ －kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝ (4x＋1)＋kx恒成立

∴－(k＋1)＝k，则k＝－ 4分

(2)g(x)＝ (a·－a)，

函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程 f(x)＝g(x)只有一个解

由已知得 (4x＋1)－x＝ (a·－a)

∴＝ (a·－a)，∴且= 8分

设。

设h（t）=（a-1）t2-at-1，若a-1＞0，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解，a＞1满足题意。

若a-1=0，a=1，不满足题意。

若a-1＜0，即a＜1时，=0的a=-3或a=，

当a=-3时t=满足题意。

当a=时，t=-2（舍去） 11分

综上：a的取值范围是｛aa＞1或a=-3｝ 12分

考点：对数函数图像与性质的综合应用.