Question

如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面⊥平面.

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，只须在平面内找到一条直线与这条直线平行，对本小题来说，连接交于点，由三角形的中位线定理可证得，问题得证；（2）要证面面垂直，只要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，由四边形为正方形且为对角线的中点，所以有，故可考虑证明平面，故需要在平面内再找一条直线与垂直即可，由平面平面，交线为且，从而平面，可得，从而问题得证.

试题解析：（1）连接交于,连接

在三角形中，，分别为和的中点

所以∥． 2分

又平面，平面

所以∥平面 4分

（2）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直

平面平面=，，

所以

又，所以 6分

又因为，是的中点，所以

又，所以 7分

由，所以平面⊥平面 8分.

考点：1.线面平行的证明；2.面面垂直的判定与性质.