Question

已知曲线：.

（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（2）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．

Answer

（1）；（2）的值为和.

【解析】

试题分析：（1）曲线是焦点在轴上的椭圆，则求解不等式组即可得到参数的取值范围；（2）设的方程为（注意检验斜率不存在的情况是否符合要求），再设出两点的坐标，在为直角三角形时，应该分类讨论，因为没有明确哪个角为直角，当时，有即即，联立该直线与椭圆的方程，得到根与系数的关系，代入即可求出的取值；当或时，这两种情况是类似的，不妨取，由即与联立可求解出点的坐标，然后再代入直线方程，即可求出的值.

试题解析：（1）若曲线：是焦点在轴上的椭圆，则有

解得 2分

（2）时，曲线的方程为，为椭圆，

由题意知，点的直线的斜率存在，所以设的方程为

由消去得 4分

当时，解得

设两点的坐标分别为

（ⅰ）当为直角时

则

因为为直角，所以，即

所以

所以，解得 6分

（ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角

此时，，所以，即①

又②

将①代入②，消去得，解得或（舍去）

将代入①，得

所以 8分

经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和 9分.

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两直线垂直的条件.