Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（2）求三棱锥D－B₁C₁C的体积.

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）三棱锥D－B1C1C的体积为.

【解析】

试题分析：（1）连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC1；由线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面CDB1；（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，可以证明DF是三棱锥D－CC1B1的高，再由锥体体积公式即可求解.

试题解析：

（1）证明：连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.

∵D是AB的中点，E是BC1的中点

∴DE∥AC1.

又∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1. 4分

（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，

∵C1C⊥平面，平面，

∴.

∴平面.

∴是三棱锥的高，

∵

∴ ，.

∴三棱锥的体积为. 8分

考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.