Question

己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线与椭圆C交于不同两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线过点F（1，0），求线段的长；

（3）若直线过点（m，0），且以为直径的圆恰过原点，求直线的方程.

Answer

（1）椭圆C的方程；（2）线段的长为；（3）直线的方程为 .

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，代入即可求得椭圆C的方程；（2）先用点斜式写出直线方程，再和椭圆方程联立，用弦长公式即可求出线段的长为；（3）设直线的方程为，直线与椭圆的两个交点设为，，把直线方程与椭圆方程联立，表示出，而以线段为直径的圆恰好过原点，即；联立即可求出直线的方程为 .

试题解析：（1）由题意：，，，

所求椭圆方程为. 4分

（2）由题意，直线的方程为：.

由得，

所以. 6分

（3）设直线的方程为，

由消去y整理得.

因为直线l与椭圆C交于不同两点M、N，

所以

解得：

设，，

则，，

所以，

因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以，

所以，即

解得，.

所求直线的方程为 10分

考点：直线与圆锥曲线综合问题、方程思想的应用.