Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（2）求四面体B₁C₁CD的体积.

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）三棱锥D－B1C1C的体积为.

【解析】

试题分析：（1）连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC1；由线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面CDB1；（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，可以证明DF是三棱锥D－CC1B1的高，再由锥体体积公式即可求解.

试题解析：

（1）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE.

∵三棱柱ABC－A1B1C1，CC1⊥底面ABC，CC1＝BC＝2，

∴四边形BCC1B1为正方形. ∴E为BC1中点.

∵D是AB的中点， ∴DE∥AC1.

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1. 4分

（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，

∵CC1⊥平面ACB , DF平面ACB，

∴CC1⊥DF.

∵BCCC1＝C

∴DF⊥平面BCC1B1.

∴DF是三棱锥D－CC1B1的高，

∵AC＝BC＝CC1＝2

∴ DF＝1.

∴四面体B1C1CD的体积为. 9分

考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.