Question

己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线与椭圆C交于不同两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线斜率为1，求线段的长；

（3）设线段的垂直平分线交轴于点P（0，y₀），求的取值范围.

Answer

（1）椭圆C的方程；（2）线段的长为；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，代入即可求得椭圆C的方程；（2）先用点斜式写出直线方程，再和椭圆方程联立，用弦长公式即可求出线段的长为；（3）当轴时，显然.当与轴不垂直时，可设直线的方程为,把直线方程与椭圆方程联立，设直线与椭圆的两个交点为，，表示出，联立即可求出的取值范围.

试题解析：（1）由题意：，，

，

所求椭圆方程为. 3分

（2）由题意，直线l的方程为：.

由得，

所以. 7分

（3）当轴时，显然.

当与x轴不垂直时，可设直线的方程为.

由消去y整理得.

设，，线段MN的中点为，

则.

所以，

线段MN的垂直平分线方程为

在上述方程中令x＝0，得.

当时，；当时，.

所以，或.

综上，的取值范围是. 10分

考点：直线与圆锥曲线的关系、函数与方程思想.