Question

在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）若，，求三棱锥的体积.

Answer

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证明线面垂直，根据线面垂直的判断定理，需要证明直线垂直平面内的两条相交直线，或者用面面垂直的性质定理，转化为线面垂直在转到线线垂直的结论，本小题是根据题意，利用第二种方法证明.

（2）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据D点是中点，利用中位线的知识可得到直线的平行，所以把直线交点与点D连结即可.线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.

（3）根据体积公式，以及题意很容易确定高以及底面的面积，即可求出体积.

试题解析：（1）证明：因为 ，

所以 ，

又 侧面平面，

且 平面平面，

平面，

所以 平面，

又 平面，

所以 .

（2）证明：设与的交点为，连接,

在中，分别为，的中点，

所以 ，

又平面，平面，

所以 平面 .

（3）【解析】
由（1）知，平面，

所以三棱锥的体积为.

又 ，，

所以 ， 所以 .

三棱锥的体积等于.

考点：1.线线垂直的判断.2.线面垂直的判定.3.线面平行的判断.4.棱锥的体积公式.5.空间想象能力.