Question

已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求的面积.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为要求椭圆的方程，必须求出两个关于椭圆的三个基本量的等式，依题意可得，离心率，焦距的长即可求出相应的的大小，从而可求出椭圆的方程.

（2）要求三角形的面积通过求出弦长和焦点到直线的距离，从而根据三角形的面积可得三角形的面积.弦长公式的计算需要具备解方程的能力，应用韦达定理，弦长公式，化简等式的能力；运用点到直线的距离公式计算三角形的高.

试题解析：（1）由已知 ，所以 .

因为椭圆的离心率为，所以.

所以 . 所以 ，

故椭圆C的方程为.

（2）若直线的方程为，则，不符合题意.

设直线的方程为，

由 消去y得 ，

显然成立，设，

则

.

由已知 ，解得.当 ，直线的方程为，即，

点到直线的距离.所以的面

积.

当，的面积也等于.

综上，的面积等于.

考点：1.直线与圆的位置关系.2.待定系数求椭圆的方程.3.解方程的能力.4.三角形的面积公式.