Question

如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）是否存在点，到四棱锥各顶点的距离都相等？并说明理由.

Answer

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）存在

【解析】

试题分析：（1）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据，再根据直线BC，直线AD的位置关系，即可得线面平行.线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.

（2）要证线线垂直转化为线面垂直，由题意可知，通过证明直线AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需证明直线AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所给条件即可得到AC垂直于AB.

（3）由（2）可知直线PB垂直于平面PAC.所以可得直线PB垂直于直线PC.通过三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直线BD垂直于DC.所以BC是的斜边，即BC的中点就是所要找的Q点.

试题解析：（1）证明：底面为梯形，，

又平面，平面，

所以平面.

（2）证明：设的中点为，连结，在梯形中，

因为 ，，

所以 为等边三角形，，

又 ，

所以 四边形为菱形.

因为，，

所以，

所以，，

又平面平面，是交线，

所以 平面，

所以 ，即.

（3）【解析】
因为 ，，所以平面.

所以，，

所以 为直角三角形，.

连结，由（2）知，

所以 ，

所以 为直角三角形，.

所以点是三个直角三角形：、和的共同的斜边的中点，

所以 ，

所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.

考点：1.线面平行的判定.2.线线垂直的判定.3.直角三形的性质.4.归纳推理论证的能力.