Question

如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）参考解析；（2）；（3），

【解析】

试题分析：（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.

（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.

（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，

因为△是正三角形，所以.

因为四边形是直角梯形，，，

所以四边形是平行四边形，，

又，所以 .

所以平面，

所以.

（2）【解析】
因为平面平面，

，所以平面，

所以.

如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

所以 ,，

设平面的法向量为，则

，

令，则,.所以.

同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则

.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

（3）【解析】
设，因为，

所以，,.

依题意即

解得 ，.

符合点在三角形内的条件.

所以，存在点，使平面，此时.

考点：1.空间坐标系的建立.2.平面与平面所成的角.3.直线与平面垂直.4.代数运算能力.5.向量的数量积.6.相应的公式.