Question

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，.

（Ⅰ）若（点在第一象限），求直线的方程；

（Ⅱ）求证：为定值（点为坐标原点）.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的方程知焦点为，准线为。设，因为点在第一象限所以且。由抛物线的定义可知等于点到抛物线准线的距离，即，可得，从而可求得点的坐标。由点和点可求直线的方程。（Ⅱ）可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，为了省去讨论也可直接设直线方程为，与抛物线联立方程，消去整理可得关于的一元二次方程，因为有两个交点即方程有两根，所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。用向量数量积公式求即可得证。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设，由题意，且.

点在抛物线上，且，

点到准线的距离为.

，. 2分

又，，

.

.

， 4分

直线的方程为，即. 5分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：.

由得，即. 7分

显然恒成立.

设，，则 9分

.

即为定值. 11分

考点：1抛物线的定义；2直线方程；3直线与抛物线的位置关系；4向量的数量积.