Question

已知椭圆：经过点，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将两点坐标代入椭圆方程组成方程组，即可求的值。（Ⅱ）由椭圆方程可知。可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，为了省去讨论也可直接设直线方程为。与椭圆联立方程，消去整理可得关于的一元二次方程，因为有两个交点即方程有两根，所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。求面积时可先求截得的弦长，再求点到直线的距离，从而可求面积（此种方法计算量过大）。另一方法求面积：可用转化思想将分解成两个小三角形，即。因为，可转化为二次函数求最值问题。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题意，椭圆的方程为. 1分

将点代入椭圆方程，得，解得.

所以 椭圆的方程为. 3分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：.

由得.

显然 .

设，，则 7分

因为 的面积，其中.

所以 .

又，

. 9分

.

当时，上式中等号成立.

即当时，的面积取到最大值. 11分

考点：1椭圆方程；2直线与椭圆的位置关系；3三角形面积；4最值问题。