Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的最小值为，求证：.

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间为；的单调递减区间为；

（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导，再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的增减区间。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令还是先求导再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的单调区间，从而可求得此函数的最值。

试题解析：【解析】

的定义域为.

. 2分

令，解得或（舍）.

当在内变化时，的变化情况如下：

由上表知，的单调递增区间为；的单调递减区间为.

5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值. 6分

令，则.

令，解得. 8分

当在内变化时，的变化情况如下：

所以函数的最大值为，即.

因为，所以. 11分

考点：1导数；2利用导数判断函数的单调性；3利用单调性求最值。