Question

已知椭圆：，直线交椭圆于两点.

（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；

（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程.

Answer

（Ⅰ）焦点坐标，，长轴长；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程变形为标准方程，即可知的值，根据可求，即可求出焦点坐标及长轴长。（Ⅱ）将直线和椭圆方程联立，消去得关于的一元二次方程，可求出两根，即为两交点的横坐标，分别代入直线方程可得交点的纵坐标。用中点坐标公式可求中点即圆心的坐标，再用两点间距离公式可求半径。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）原方程等价于.

由方程可知：，，，. 3分

所以 椭圆的焦点坐标为，，长轴长为. 5分

（Ⅱ）由可得:.

解得：或.

所以 点的坐标分别为，. 7分

所以 中点坐标为，. 9分

所以 以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为.

所以 以线段为直径的圆的方程为. 11分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的相交弦问题；3、求圆的方程。