Question

已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为和关于原点对称，由椭圆的对称性可知和在椭圆上。因为在椭圆上则和不在椭圆上。所以在椭圆上。解方程组可得的值。（Ⅱ）需讨论哪个角为直角只讨论和即可，因为点的位置没有固定，和的情况相同。如当时，设直线，联立方程消去消去得关于的一元二次方程，由韦达定理得根与系数的关系。根据，则直线垂直其斜率相乘等于，列式计算可得，则说明原点在的外部，符合条件，否则不符合条件舍掉。在求面积时若采用先求弦再求点到的距离最后求面积的方法计算过于繁琐，所以求的面积时可用分割法，计算较简单。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由知，和不在椭圆上，即椭圆经过，，.

于是.

所以 椭圆的方程为：. 2分

（Ⅱ）①当时，设直线，由得

.设，则，

所以

.

于是，此时，所以 直线.

因为，故线段与轴相交于，即原点在线段的延长线上，即原点在的外部，符合题设. 6分

所以

.

当时取到最大值. 9分

②当时，不妨设.

设直线，由得.

所以 或.

所以，由，可得直线.

由得.

所以.

所以线段与轴相交于.

显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设.

综上所述，所求的面积的最大值为. 12分

考点：1、椭圆的对称性和方程；2、直线和椭圆的位置关系问题；3、三角形面积的求法。