Question

在四棱锥中，底面是正方形，与交于点底面，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）为线段的中点时，平面，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形的中位线定理证明，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；（2）这是存在性问题，先假设存在点，使得平面，依据面面垂直的判定定理可知，这时必有面面，此时应该在平面中可以找到一条直线垂直平面，这时关注好题目中的条件：底面为正方形且面，此时可想到可能是面，这个垂直关系并不难证明，故可肯定点是存在的，然后再根据题中所给的条件去确定边与的比例关系，最后根据为直角三角形且可确定的比值.

试题解析：（1）证明：连接

由四边形是正方形可知，点为的中点

又为的中点，所以

又平面，平面

所以平面 6分

(2)解法一：若平面，则必有

于是作于点

由底面，所以，又底面是正方形

所以，又，所以平面 10分

而平面，所以

又，所以平面 12分

又，所以

所以为的中点，所以 14分

解法二：取的中点，连接，在四棱锥中

，，所以 6分

又由底面，底面，所以

由四边形是正方形可知，

又

所以平面 10分

而平面

所以，平面平面，且平面平面

因为，平面，所以平面 12分

故在线段上存在点，使平面

由为的中点，得 14分.

考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系.