Question

已知四棱锥，面,∥,,，,,为上一点,是平面与的交点.

（1）求证：∥；

（2）求证：面；

（3）求与面所成角的正弦值.

Answer

（1）、（2）证明详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先根据∥，可证明∥面，再利用线面平行的关系可证明∥；（2）考虑通过证明与（已知），而证明可通过证明面来证明；（3）考虑以DA，DC，DP为坐标建立空间直角坐标，通过求直线PC的方向向量与平面EFCD的法向量的夹角来处理．

试题解析：（1）∥ ,面,面，∴∥面，

又∵面面，

∴∥，∴∥．

（2）∵面，∴．

又，∴面，

∵面,∴．

又∵，∴面 ．

（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

,

设由且∥可得

，解得，∴．

设为平面的一个法向量则有

，令，，∴ ，

∴与面所成角的正弦值为 .

考点：1、空间直线、平面间的平行与垂直；2、直线与平面所成角；3、空间向量的应用．