Question

抛物线，其准线方程为，过准线与轴的交点做直线交抛物线于两点.

（1）若点为中点，求直线的方程；

（2）设抛物线的焦点为，当时，求的面积．

Answer

（1）或；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，然后设直线直线l的方程，并与抛物线方程联立消去x得到关于y的二次方程，再利用韦达定理与中点坐标公式可求得m的值，进而得到直线l的方程；（2）根据条件中的垂直关系，利用A、B、F三点的坐标表示出向量与，然后利用向量垂直的条件可得的值，进而可求得的面积．

试题解析：（1）∵抛物线的准线方程为，∴

∴抛物线的方程为，

显然，直线与坐标轴不平行

∴设直线的方程为， ，

联立直线与抛物线的方程，得，

，解得或 ．

∵点为中点,∴，即

∴解得 ，

，∴或

∴，

直线方程为或.

（2）焦点，

∵

∴，

．

考点：1、直线方程；2、抛物线方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、平面向量垂直的充要条件的应用．