Question

已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．

试题解析：（1），∴，

，∴，∴，

椭圆的标准方程为．

（2）已知,设直线的方程为，-，

联立直线与椭圆的方程，化简得：，

∴，，

∴的中点坐标为．

①当时，的中垂线方程为，

∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：

，即，

解得或 ．

②当时，的中垂线方程为，满足题意，

∴斜率的取值为.

考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．