Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点是，又点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程;

（2）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的焦点可设椭圆的方程，然后将代入可求解得，从而可确定椭圆的方程；（2）设直线的方程及，联立直线与椭圆的方程，消去得到，先由确定的取值范围，然后根据二次方程根与系数的关系得到，从而由公式计算出，再由点到直线的距离公式计算出点到的距离为，最后得到，利用基本不等式可得面积的最大值.

试题解析：（1）由已知椭圆的焦点为，故设椭圆方程为 2分

将点代入方程得，整理得 4分

解得或（舍），故所求椭圆方程为 6分

（2）设直线的方程为，设 7分

代入椭圆方程并化简得 9分

由，可得①

由 11分

故

又点到的距离为 13分

故

当且仅当，即时取等号（满足①式）

所以面积的最大值为 15分.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线的综合问题；3.基本不等式.