Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点，为的中点，于，如图建立空间直角坐标系.

（1）求出平面的一个法向量并证明平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.（1）先确定、、的坐标，然后设出平面的一个法向量为，由确定的一个取值，最后验证，即可作出平面的判断；（2）先找到的一个法向量为，然后计算，最后结合图形，确定二面角的余弦值是，还是.

试题解析：由题设知：在中，

、、、 4分

（1） 5分

， 6分

设平面的一个法向量为

则

令，得 8分

∵

∴平面 10分

（2）由（1）得平面的法向量，平面的一个法向量为 12分

设二面角的平面角为，则

即二面角的余弦值为 14分.

考点：1.空间向量的解决空间平行中的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.