Question

已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：、、、．

（1）经判断点，在抛物线上，试求出的标准方程；

（2）求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率；

（3）过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足，试求出直线的方程．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）先设抛物线，然后将或代入可得，从而确定了的方程，也进一步确定、不在上，只能在上；设：，把点、代入得，求解即可确定的方程；（2）由（1）中所求得的方程不难得到的焦点及椭圆的离心率；（3）先假设所求直线的方程（或，不过此时要先验证直线斜率不存在的情况），然后联立直线与椭圆的方程，消去消去，得，得到，再得到，要使，只须，从中求解即可得到，从而可确定直线的方程.

试题解析：（1）设抛物线，则有，而、在抛物线上 2分

将坐标代入曲线方程，得 3分

设：，把点、代入得

解得

∴方程为 6分

（2）显然，，所以抛物线焦点坐标为

由（1）知，，

所以椭圆的离心率为 8分

（3）法一：直线过抛物线焦点，设直线的方程为，两交点坐标为，

由消去，得 10分

∴①

② 12分

由，即，得

将①②代入（*）式，得，解得 14分

所求的方程为：或 15分

法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意 9分

当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为

由消掉，得， 10分

于是，①

即② 12分

由，即，得

将①、②代入（*）式，得

解得 14分

故所求的方程为或 15分.

考点：1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.直线与圆锥曲线的综合问题.