Question

（1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹；

（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则.

Answer

（1）的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（2）设，在中，由正弦定理得，同时在在中，由正弦定理得，然后根据，进而得到，最后将得到的两等式相除即可证明.

试题解析：（1）设点坐标为，则 2分

整理得 4分

所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点） 6分

（2）证明：设

在中，由正弦定理得 ① 8分

在中，由正弦定理得，而

所以 ② 10分

①②两式相比得 12分.

考点：1.轨迹方程的求法；2.正弦定理的应用.