Question

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.

试题解析：（1）由得，即 1分

当，即时，原不等式的解为或 3分

当，即时，原不等式的解为且 4分

当，即时，原不等式的解为或

综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或 6分

（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（） 8 分

令，则 10分

当且仅当等号成立

，即

故实数的取值范围是 12分.

考点：1.一元二次含参不等式；2.分类讨论的思想；3.分离参数法；4.均值不等式.