Question

如图，已知椭圆： 的离心率为 ，点 为其下焦点，点为坐标原点，过 的直线 ：（其中）与椭圆 相交于两点，且满足：.

（1）试用 表示 ；

（2）求 的最大值；

（3）若 ，求 的取值范围.

Answer

（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.

试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分

设，则有， 3分

∵

∴ 5分

∴即 6分

（2）由（1）知∴，∴ 8分

∴ ∴离心率的最大值为 10分

(3)∵ ∴ ∴ 12分

解得 ∴即

∴的取值范围是 14分

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.