Question

在平面直角坐标系中，已知点，点在直线：上运动，过点与垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过(1)中的轨迹上的定点作两条直线分别与轨迹相交于，两点．试探究：当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer

(1) (2) 当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为定值

【解析】

试题分析：(1)由线段垂直平分线的性质知, ,所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.易知其标准方程为.

设、，,可由点差法求出,

,

由直线，的倾斜角互补，得

定值

试题解析：(1)依题意，得 1分

∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线 3分

∴动点的轨迹的方程为 4分

(2)∵、，在抛物线上

∴ 5分

由①-②得，

∴直线的斜率为 7分

同理可得，直线的斜率为 9分

∴当直线，的倾斜角互补时，有

即

∴ 11分

由②-③得，

∴直线的斜率为 ④ 13分

将代入④，得

∴当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为定值 14分

考点：1、抛物线的定义和标准方程；2、点差法的应用.