Question

如图，已知正方体棱长为2，、、分别是、和的中点.

（1）证明：面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：先以点为原点建立空间直角坐标系，然后标明有效点的坐标，（1）写出有效向量的坐标，利用向量的数量积为零即可证明，从而可得平面；（2）易知为平面的法向量，先计算，然后观察二面角是锐角还是钝角，最终确定二面角的余弦值.

试题解析：以为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2

则 2分

(1)则，

3分

∵

∴ 4分

∵

∴ 5分

又，， 6分

∴面 7分

(2)由(1)知为面的法向量 8分

∵面，为面的法向量 9分

设与夹角为，则 12分

由图可知二面角的平面角为

∴二面角的余弦值为 14分.

考点：1.空间向量在解决空间垂直上的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.