Question

已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积=，其中为坐标原点.

（1）证明和均为定值；

（2）设线段的中点为，求的最大值；

（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明详见解析；（2）；（3）不存在点满足要求.

【解析】

试题分析：（1）先检验直线斜率不存在的情况，后假设直线的方程，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，根据三角形的面积公式，即可求得与均为定值；（2）由（1）可求线段的中点的坐标，代入并利用基本不等式求最值；（3）假设存在，使得，由（1）得，，从而求得点的坐标，可以求出直线的方程，从而得到结论.

试题解析：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于轴对称，所以

因为在椭圆上，因此 ①

又因为所以 ②

由①、②得，此时 2分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知，将其代入，得

其中即 （*）

又

所以

因为点到直线的距离为

所以

又，整理得，且符合（*）式

此时

综上所述，结论成立 5分

（2）解法一：

（1）当直线的斜率不存在时，由（I）知

因此 6分

（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当，即时，等号成立

综合（1）（2）得的最大值为 9分

解法二：因为

所以

即当且仅当时等号成立

因此的最大值为 9分

（3）椭圆C上不存在三点，使得 10分

证明：假设存在满足

由（I）得

解得

所以只能从中选取，只能从中选取

因此只能在这四点中选取三个不同点

而这三点的两两连线中必有一条过原点

与矛盾

所以椭圆上不存在满足条件的三点 14分.

考点：1.点到直线的距离公式；2.三角形的面积计算公式；3.直线与椭圆的综合问题.