Question

已知函数在与时都取得极值.

（1）求的值及的极大值与极小值；

（2）若方程有三个互异的实根，求的取值范围；

（3）若对，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1），当时，有极大值，当时，有极小值；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）因为函数在极值点处的导数等于0，所以若在与时都取得极值，则，解方程组可得到的值，再由导数的正负确定函数的单调性，最后可求得的极大值与极小值；（2）若方程有三个互异的实根，故曲线与有三个不同的交点，则极大值大于1，极小值小于1，从而可求的取值范围；（3）对，不等式恒成立，只须，从中求解即可求出的取值范围.

试题解析：（1）

由已知有，解得 3分

，

由得或，由得 5分

列表如下

1

+

0

－

0

+

递增

递减

递增

所以，当时，有极大值，当时，有极小值 8分

（2）由于方程有三个互异的实根

故曲线与有三个不同交点 9分

由（1）可知此时有

解得 12分

（3）由（1）知，在上递增，此时 14分

要满足题意，只须

解得或 16分.

考点：1.函数的极值与导数；2.函数与方程；3.函数的最值与导数.