Question

已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程，通过解方程组求出椭圆的方程，包含着二次方的运算需掌握；(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题，这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程，确定判别式的情况，正确书写、利用韦达定理，由，两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为，且满足，根据向量的数量积为零，可得到关于两个根的等式，再利用韦达定理可得关于的等式，从而就可得出相应的结论.

试题解析：（1）

即

∴椭圆方程为 4分

又点在椭圆上，解得

∴椭圆的方程为 6分

(2)设，由得

，

8分

所以，又椭圆的右顶点

，

，解得 10分

，且满足

当时，，直线过定点与已知矛盾 12分

当时，，直线过定点

综上可知，当时，直线过定点，定点坐标为 14分.

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理；3.平面向量的数量积；4.过定点的问题；5.直线与椭圆的综合问题.