Question

已知圆的方程为:，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．

（1）若，求点的坐标；

（2）若点的坐标为，过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；

（3）求证：经过(其中点为圆的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer

（1）或；（2）或；（3）该圆必经过定点和.

【解析】

试题分析：（1）由题中条件，在直角三角形中计算出，设点，然后将坐标化，求解关于的方程，最后写出点的坐标即可；（2）先由弦长计算出圆心到直线的距离，设的方程为，最后由点到直线的距离公式即可求出的取值，进而写出直线的方程即可；（3）设，过点的圆即是以为直径的圆，从而得到该圆的方程，根据其方程是关于的恒等式，列出方程组，求解可得，得到经过三点的圆必过定点的坐标.

试题解析：（1）由条件可得，设，则，解得或，所以点或点

（2）由已知圆心到直线的距离为，设直线的方程为，则，解得或

所以直线的方程为或

（3）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为：

，整理得

即

由得或，该圆必经过定点和.

考点：直线与圆的方程的综合应用.