Question

抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足（且）．

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；

（3）当=1时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围.

Answer

（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）数形结合，依据抛物线的标准方程写出焦点坐标和准线方程；（2）设直线的方程为，直线的方程为，分别联立直线与抛物线的方程消去得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到、，再由求出点的横坐标，即可证明；（3）为钝角时，必有，用表示，通过的范围求的范围即可.

试题解析：（1）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为

（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为

点和点的坐标是方程组

的解将②式代入①式得，于是，故 ③

又点和点的坐标是方程组

的解将⑤式代入④式得于是，故

由已知得，，则 ⑥

设点的坐标为，由，则

将③式和⑥式代入上式得，即所以线段的中点在轴上

（3）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为

由③式知，代入得

将代入⑥式得，代入得

因此，直线分别与抛物线的交点的坐标为

，于是，

因为钝角且三点互不相同，故必有

求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故

当时，；当时，即.

考点：1.抛物线的标准方程及性质；2.二次方程根与系数的关系；3.直线与圆锥曲线的综合问题.