Question

已知函数的定义域为，且,，

当，且，时恒成立.

（1）判断在上的单调性；

（2）解不等式；

（3）若对于所有，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）将赋予，即将转化为，根据可知，即，根据单调性的定义可得函数在上的单调性。（2）由（1）知在上是单调增函数，根据单调性可得自变量的大小关系，同时自变量应在所给的定义域内，有以上不等式组组成的不等式组可得所求不等式的解集。（3）恒成立即恒成立，用函数的单调性可求其最值。将问题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，因为，又可将上式看成关于的一次不等式，讨论单调性即可得出。

试题解析：【解析】
（1）∵当，且，时恒成立，

∴， ∴ ， 2分

∴时，∴ ，

时，∴ 4分

∴在上是单调增函数 5分

（2）∵在上是单调增函数，且

∴ ， 7分

解得 8分

故所求不等式的解集 9分

（3）∵在上是单调增函数，，

∴， 10分

若对于所有，恒成立，

则，恒成立， 11分

即，恒成立，

令，

要使在恒成立，

则必须，解得，或 13分

则的取值范围是 14分

考点：1函数单调性的定义；2用单调性求函数的最值。