Question

设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）用公式将化简可得间的关系，根据等比数列的定义可证得数列是等比数列。（2）属构造法求数列通项公式：因为，所以，将其取倒数可推导出，根据等差数列的定义可知为等差数列，先求的通项公式，再求。（3）因为得通项公式为等差乘以等比数列所以应用错位相减法求数列的前项和。将表示为各项的和，然后将上式两边同时乘以通项公式里边等比数列的公比，但应将第一位空出，然后两式相减即可。

试题解析：（1）证明：当时，，解得． 1分

当时，．即 2分

∵为常数，且， ∴． 3分

∴数列是首项为1，公比为的等比数列． 4分

（2）【解析】
由（1）得，，．

∵， ∴，即． 7分

∴是首项为，公差为1的等差数列． 8分

∴，即（）． 9分

（3）【解析】
由（2）知，则． 10分

所以，

即， ①

则 ②

②－①得，

． 14分

考点：1等比数列的定义；2等差数列的定义及通项公式；3错位相减法求数列的和。