Question

已知四棱锥的底面是等腰梯形，且分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）可证面得，因为分别是的中点即可证。（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，先求各点的坐标然后求向量的坐标，再求面的一个法向量。由已知可知为面的一个法向量，用向量的数量积公式求两法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与所求二面角的平面角相等或互补。

试题解析：（1）分别是的中点.

2分

由已知可知 3分

4分

又

5分

6分

（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系. 7分

由题设，， 得

8分

设平面的法向量为

可取， 10分

平面的法向量为 11分

13分

由图形可知，二面角的余弦值为 14分

考点：1线面垂直；2用空间向量法解立体几何问题。