Question

已知椭圆（＞＞0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（ ，0），点（0，）在线段的垂直平分线上，且，求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4即，在结合和可解得的值。（2）分析可知直线斜率存在，可设其方程为，将直线方程和椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的关系，其中一个根为另一个跟为点的横坐标。根据在线段的垂直平分线上和可求的值。需注意对为0时的讨论。

试题解析：（1）【解析】
由， 1分

得，再由，得 2分

由题意可知， 3分

解方程组 得：

所以椭圆的方程为： 4分

（2）【解析】
由（1）可知．设点的坐标为,

直线的斜率显然所在，设为，则直线的方程为, 5分

于是两点的坐标满足方程组，由方程组消去并整理，

得 6分

由得 8分

设线段是中点为，则的坐标为

以下分两种情况：

①当时，点的坐标为．线段的垂直平分线为轴，于是

由得 10分

②当时，线段的垂直平分线方程为

令，解得

整理得 13分

综上 ． 14分

考点：1椭圆的标准方程；2直线和椭圆的位置关系。