Question

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（1）已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer

（1）为“局部奇函数”； （2）

【解析】

试题分析：（1）若方程有解，则说明是“局部奇函数”，否则，则说明不是“局部奇函数”。 （2）当时，可化为，用整体思想将视为整体用表示。将上式转化为的一元二次函数。根据题意可知此二次函数在其定义域上有解。

试题解析：【解析】
（1）为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解．

当时，

由得

解得，

所以方程有解，因此为“局部奇函数”． 4分

（2）当时，可化为

．

令， 则， 6分

从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 8分

令，

1° 当，在有解，

由，即，解得； 10分

2° 当时，在有解等价于

解得． 13分

（说明：也可转化为的大根大于等于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为． 14分

考点：1新概念问题；2指数函数的值域；3二次函数。