Question

如图，在长方体AC₁中，AB=BC=2，，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．

（1）求证：BE//平面D₁AC；

（2）求证：AF⊥BE；

（3）求异面直线AF与BD所成角的余弦值。

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接和交于点，连接，证为平行四边形得//，根据线面平行的判定定理即可证得//平面。（2）用空间向量法证两向量数量积为0。（3）用空间向量法求两向量所成角的余弦值，但应注意两空间向量所成角范围为，异面直线所成角范围为，所以其余弦值应为正数。

试题解析：

（1）（方法一）连接和交于点，连接，由长方体知//且，

所以四边形为平行四边形，所以//，又平面，平

面，故//平面。 （4分）

（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,

,.,,,

从而，故故//平面。 （4分）

（2）由（1）的方法二可知，

∴ ， （6分）

∴ . （7分）

所以 （8分）

（3）由（1）、（2）知，，设异面直线AF与BD所成

的角为，则，

故异面直线与所成角的余弦值为 （12分）

考点：1线面平行；2空间向量法在立体几何中的应用。