Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

试题分析：（1）用椭圆的定义可求，根据焦距和可求；也可将点代入设出的椭圆方程解方程组求。（2）用点差法求直线的斜率，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，直线与椭圆的焦点即为所求点。

试题解析：（1）（方法一）依题意，设椭圆方程为， 1分

则， 2分

因为椭圆两个焦点为，所以

=4 4分

5分

椭圆的方程为 6分

（方法二）依题意，设椭圆方程为， 1分

则，即，解之得 5分

椭圆C的方程为 6分

（2）如图

（方法一）设两点的坐标分别为，

则 7分

① ②

①-②，得,

9分

设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为

联立方程组，消去整理得

由判别式得 12分

由图知，当时，与椭圆的切点为，此时

的面积最大

所以点的坐标为 14分

（方法二）设直线的方程为，联立方程组，

消去整理得

设两点的坐标分别为，则

所以直线AB的方程为，即 9分（以下同法一）

考点：1椭圆方程；2点差法解决中点弦问题；3数形结合。