Question

已知函数．

⑴当时，①若的图象与的图象相切于点，求及的值；

②在上有解，求的范围；

⑵当时，若在上恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）①，②时，；时， （2）时，；时，．.

【解析】

试题分析：（1）①本题为曲线切线问题,一般从设切点出发,利用切点在切线上.切点在曲线上,切点处的导数值为切线的斜率三个方面建立等量关系,从而解出，②方程有解问题，一般利用分离法，求函数值域解决.由于定义域不定，需讨论极值为零的点是否在定义域内，这决定了单调区间,也决定了最值.（2）不等式恒成立问题，往往转化为最值问题，这也需要分离变量. 即，在求函数值域时，有两个难点，一是判断极值为零的点，二是讨论极值为零的点是否在内.

试题解析：⑴

①， 3分

②即与在上有交点…4分

，时在上递增，；

时在上递增，在上递减且， ……7分

时，；时， 8分

⑵即，

即在上恒成立， 9分

令，

令，则为单调减函数，且， 12分

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减， 13分

若，则在上单调递增，

∴，∴；

若，则在上单调递增，单调递减，

∴，∴ 15分

∴时，；时，． 16分

考点：利用导数求切线，利用导数求最值.