Question

已知直线：

（Ⅰ）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.

（Ⅱ）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大，求的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直线方程整理得：，可知该直线过直线与直线的交点.经过解方程组，可得到定点为；（Ⅱ）由题知则令则,令则.求出与坐标轴的截距后再根据三角形的面积公式得到，要使得最大，就是当时三角形的面积最大.此时可以得到的方程为：.

试题解析：（Ⅰ）由直线方程整理得：，所以可知该直线过直线与直线的交点.解方程组可得.所以直线过定点.

（Ⅱ）由题知，则.令，则,即为直线在轴上的截距；

令，则.即为直线在轴上的截距.

所以.

要使得最大，就是当时三角形的面积最大.所以直线的方程为：.

考点：（Ⅰ）直线系方程；（Ⅱ）直线的截距式方程.